小说一下代数表示论
我前段时间讨论班上讲的是几乎可裂序列.这一节和后续的几节都是为整本书的核心部分 AR理论作铺垫,而这一节已经可以看出 AR quiver的影子了.我讲这一节感受比较大的是以下一些部分.
1 对偶的使用
2 在同构意义下唯一
3几乎可裂序列的存在性.
下面对这三点说说我的一些体会
对偶在同调代数里就有了,但是事实上在之前的基础代数,交换代数中就已经使用了这个方法,在表示论这本书里,这个方法几乎是每个地方都有,在陈述并证明一个定理后马上叙述另外一个对偶的定理,证明自然就不必给出了,因为完全可以上一个定理的叙述"对偶"
比如在这一章里,左几乎可裂和右几乎可裂就是对偶的,通过可裂单和可裂满的对偶.突然想起同调代数里一个定理.一个短正合序列可裂的充分必要条件是最后一项是投射模或者第一项是内射模.
所以在讲这一章的时候我就把关于投射模的情形证了,内射模的情况"from dualization"
2 这一章的一个比较重要的地方就是证明右几乎可裂映射在某种意义下的唯一性,比如说一个短正合序列的第1项是个不可分解模,则右几乎可裂映射就是极小的,而由于极小态射在ModC范畴中在同构意义下是唯一的,直接导致了右几乎可裂态射的唯一性.
3 那么给定一个在artin代数上的模范畴,几乎可裂序列是不是就存在呢,要知道,如果不存在,再漂亮的性质也是没有用的.幸运的是,如果短正合序列第三项是个不可分解模并且是非投射的,那么就存在一个这样的序列.命题描述起来很简单,但是证明却如书上所说"far from obvious" 证明的时候用了3乘3的交换图表,并且使用了Baer Sum把一个分裂的正合序列看成是一个群中的0元素.两次进行pull back,最后利用拉回映射的泛性质证明了结论.
这一章就已经在暗示,两个几乎可裂序列被起点或者终点(就是短正合序列的第1和最后一项)完全决定.因此我们可以猜测ARquiver的起点和终点是固定的.这在现代代数表示理论中是一个非常重要的结论.
表示的观点
突然想到一点东西于是写下来
我们知道这样两个概念,一是不可分解模 二是单模
不可分解模是说这个模不能写成两个模的直
和.而单模是说这个模没有非平凡的真子模.很容易看出单模一定是不可分解模,而不可分解模不一定是单模,一个经典的例子就是Z作为Z模是不可分解模,但是却不是单模.事实上这样就知道了这两者的区别.但是我们可以换一种方式来看它们
我们用这两个模的自同态环来看看区别,很显然由经典的结构定理我们知道End(S)(S is simple)是一个除环,而End(L)L是不可分解模是一个局部环,有唯一的极大理想就是一些不是同构的映射组成的集合.而前者中的映射都是同构.这个观点实际上是表示论的观点.
最近还有一个定理让我很着迷,就是任意一个有限维的代数,一定是有限型,tame 和wild型中之一.而且有限型的quiver肯定是Dinkyn图的并.呵呵
我越来越觉得表示论是个神奇的学科呵呵
沉心静气
最近心情有点起伏也影响到了我的学习,由于考试临近,每天忙于考试的复习和一大堆没用的实验而使我不能有大块的时间看数学,让我比较郁闷.还有就是现在要看的数学难度比较大,有限维代数表示论中的三角范畴,经常遇到这样的情况,一个小地方过不去就看很久,然后突然明白了,进度不是很顺利,还有那两本表示论基础书绝对不是小case.寒假就要跟Yang讲.想多学点东西,尤其是我可能将要做的领域的一些基础性的文献.最近有个想法,想读一本表示论的学术专著,比如一本<Representation method of finite group>和<Representation theory>后者是一本原始论文集.
现在人心比较浮躁,大家都好象开始考虑以后的事情了,我认为在这个时候最要沉住气,先把眼前的事情做好不要想太远的事情,向着自己的目标和理想前进就是了.因此韬光养晦,沉心静气
