顺流而下 数学和我的生活 Shizhuozhang@gmail.com

发呆的时候往往会突然有一些顿悟,这几天很颓废,每天除了单词就是睡觉,没读数学. 但是零碎的想到一些东西,于是乎懂的东西又增加一点点.

首先说到清华和朱教授聊的一些东西,他是做Tilting 理论and Cluster范畴的, Tilting理论我在讨论班上讲过一点,简单而言就是一种研究两个有某种关系的代数的一种技术.教授提到肖教授的一个很有趣味的例子来说明什么是Tilting.

设想一个篮球漂在水上(我不知道会不会沉....),篮球在水里的部分是模范畴,整个球面是导出范畴,Tilting的过程就是去拨弄一下球, 可想,球会在水里"滚动",一部分本来在水下的部分跑到上面来了,但是球还是一个球,我们说,Tilting后,导出范畴是没有变的,只是模范畴变了. 这个例子我觉得很生动,当场就激动了. 在南京听Clause Michael Ringel讲Tilting理论,他也是把导出范畴放在3-Level. 因此两个代数模范畴如果是 A Tilting to B 则 导出范畴等价.可以这样说,倾斜也是一种等价性,即Derived equivalence. 这时候,我马上提到Stable 等价,注意前面我们拨球是随便怎么拨(体现在模上,就是T做为A Tilting模是任意的),而这个等价的"拨球"的方式就规则一些.

第2,说说Morita等价,关于具体的定义,可以参考这个连接: http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1180109774

书可以参考Morita Equivalence and Its Generalizations  教授说两个代数的模范畴Morita等价implies 他们的表示范畴等同,虽然Morita 等价后,可能代数A变成了A的sum of copy,但是表示范畴是没有变的,这个东西从"感觉"上来说也是对的, sum of copy的morphisms induced by the morphism in the original category.所以module categories' Morita equivalence is equivalence in Representation categories.但是我仍然存在一些问题,想找一些这方面的讲义来读,特别是和代数几何中的东西读读.

读Xiao and Zhu的一篇文章,Relations for Grothendieck groups of Triangulated categories. 结论很漂亮, 局部有限的三角范畴(文章中叫有限型)的Grothendieck群的relation由Auslander-Reiten triangle生成. 这个结论的想法来源于Artin代数的一个类似的结论.就是artin代数是finite type if and only if Grothendieck群的relation由Auslander Reiten 序列生成. 尤其是only if的部分使我很有兴趣, 也就是说如果一个代数不是有限型的,那么用它的AR 序列就不能完全生成relation, Zhu说,有人研究了这个现象,并且得到如果一个代数是无限型的,那么relation除了AR s还有一些别的正合序列.

最后说一个初级问题,就是Hom函子为什么不正合,可见http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1174903962

从代数角度这样来理解,一个正合序列假设是0---->M----->N------>L------>0 用Hom(P,-)来作用,其中P不一定是投射的,则有 0---->Hom(P,M)---->Hom(P,N)----->Hom(P,L)--->Ext^1(P,M)--->

这是Hom(P.-)诱导的长正合列,如果P是投射的,那显然Ext^1(P,M)=0,所以是正合的,这里实际上只要Ext^(P,M)=0就可以了,换个角度要求0--->M---->U----->P---->0 分裂,就可以了. 也就是说在一般情况下,从P到U 不一定有section.

有个事情让我很兴奋,今天询问了一个做代数几何的学生 Daniel, 得到的答复是Derived Categories竟然可以用来给代数簇birational equivalence分类,这个结论让我觉得很强,因为之前我根据Derived Categories在模范畴中的作用,感觉"提升"不到这个程度,因此现在我准备读读相关的文章,而且使得我对代数几何的兴趣简直是猛增. 下面是Daniel提供的一些文章:

A. Bondal and D. Orlov, "Derived categories of coherent 
sheaves"

L. Hille and M. van den Bergh "Fourier-mukai transforms", 2004. Also 
on the arXiv, I think, or google for it.
Rouquier, "Categories derivees et geometrie birationelle", 2005 (in 
French).
T. Bridgeland, "Derived categories of coherent sheaves" 2006 (look on 
the arXiv).
Ha的书认真看

今天在图书馆在英语的折磨中实在不行了,回宿舍的路上就一直念着"birational equivalence",突然发现这个东西也没那么强,因为从范畴等价的角度考虑 一个簇范畴(with rational map as morphism between objects), 等价于一个簇的函数环的分式域的范畴,而这个实际上是一种局部化,而derived category也是范畴的一种局部化(比较特殊,先是造一个homotopy category 然后模掉一个比较奇怪的范畴),比较弱.所以对于能分类也就没先前那么惊奇了.

我决定把Ha的书好好读,同时自己来思考这个问题,不看那篇文章,思考如何来做,写点东西

从清华的校门走进去,感慨于这所学校的美丽,两年前我也来过这个地方,那时候是怯怯的,虽然今天太阳很大,还是想在这个校园里漫步一下子,我每次到一个地方都是匆匆,没有时间停下脚步来感受,今天也摆脱不了,走着,侧面竟然有一个很美的草坪,有树,就象某个城堡的花园一般,草很绿,很整齐,一些人在树后照相. 都是孩子们,或许是高中生,憧憬着能踏进这所学校,几天前一个同学对我说,真想雄赳赳地踏进清华. 两年前我也是这样憧憬,所以对这所学校的学生是那么敬畏,以致于我生怕别人提起我的学校,因为是那么不起眼.

如今,这种感觉竟没有了,走在清华的树阴下,能以很平静的心看周围的小孩和学生, 当年的怯全然不见. 其实我也不知道数学系在哪,在一个数学系学生的陪伴下,我到了理科楼,左边是物理,右边是数学,走进去,上楼,回望,Henri Poincare, David Hilbert的名字赫然. 心里不免生出一点激动.来到了一个教授的Office, 教授很亲切,开始聊一些数学,教授的地方不大,但却是个可以安心做学术的小屋,挂着小黑板,想着那一个个漂亮的数学定理就是在这样的地方诞生,憧憬着未来我也能在这样一个小屋里,发现漂亮的结论,此生足以.

学校展览了很多书

L functions,From Geometry to Quantum fields theory, Deformations in Algebraic Schemes, Arithmetic Geometry and Number theory, The heart of cohomology, Serre Problems on Projective modules, Manin The intro to modern Number theory. Algebraic Geometry, Lie Group from representation and invariant 

只展览到星期五,书就要到南京去了. 学校的老师目光短浅,每次推荐的书,都没有买.

我只想要一个最大的图书馆 仅此而已!

考完G后一定暴学,这段时间太受制了,学了数学后,就累的不想看英语了,考完G 狂学5个月.

今天搜到一篇发在Journal of Pure and applied algebra的文章,用Lie代数表示论的方法做Jacobian Conjecture

嘿嘿 攒点论文,去ZJU前 好好读读. 昨天跟某大牛说到SpecZ[x]的性质,我误以为Z[x]是PID 想都没想说是素理想是(f) where f is irreducible( 这是根据UFD),猛然 原来不是PID, 那它的非平凡素理想是什么呢? 我说(x,p) where p is prime

大牛: it is too trival....

我慌了,原来没想过这个东西,虽然交换代数里有类似的example

我那时在想,能不能用Z[x]去control k[x] where k is algebraic closed 其实就是瞎想,但是还是明白了一事 环R 到S 的homomorphism 诱导了SpecR to SpecS 的映射,感觉有点类似local nature,现在学的Scheme里,local nature everywhere. 这段时间就是要琢磨清楚这些

1 J.S Mline 的 代数群导引

2 J.S Mline 的 模形式导引

3 某人写的代数K理论导引

4 J.S 的代数数论导引

6月9日考GRE 所以之前只看Ha的代数几何,Hatcher代数拓扑,同时看一点1,2中一个讲义.6月10日到15日看3. 完成第一章

6月16日到7月10日 看1,3 或者2,3

现在心里很痒,既兴奋又无奈的感觉.好好背英语吧先.

说一个别的事情,今天听系里的一个大牛说:"量子化的过程实际上和我们认识其他事物的方法是一致的,就是把一些东西打碎,再重新组合的过程." 我一听到这就想到微积分,先分,然后积,组合成整体. 然后大牛讲了一堆虫洞的东西,我也听不懂了

继续学习代数几何,下面这个问题和代数几何没什么关系.前几天在一个论坛上看见这样一个题 是否存在一个局部环的大根是幂零理想? 要求举一个具体的例子.一开始我觉得对任何局部环都是成立的,一想不对,长期在artin algebra上考虑问题,导致了错误的结论. 是不一定的,对于某些环是成立的. 事实上对于有限维代数结论是成立的,更一般地对于有限生成artin代数作为环也是成立的,因为any descending chains of ideals in artin ring is stable, then because of finite generated, according to Nakayama Lemma, the radical is nilpotent.

后来一个人举出了一个非平凡的例 dual number k[x]/(x^2), 其实可以换个角度来看,从quiver的角度来看,就是一个loop 模掉了x^2=0 这个relation,得到的quiver只有一条arrow了,也就是说是有限生成的. 从quiver可以很容易得到这个结论,因为for a quiver Q,the radical of path algebra KQ is the arrow ideal, 因此只要Q acyclic, 那么arrow ideal肯定是nilpotent.而如果有loop怎么乘都不会得0

另外dual number是局部环这个事实从quiver的角度来说也是直接的, 因为dual number/radical 就只有一个顶点了,显然与K同构, 所以radical is the maximal ideal.立即得到是局部环.

所以用quiver可以很直观地看到一些环的性质.其实我觉得这是几何的一种作用.上次说对Auslander Reiten quiver的构造有一点想法,这次我似乎更加坚定了这个想法. 过几天再说.

最近看sheaf and scheme, 同时看的Riemman Surface,觉得在学抽象概型论的同时一定要学点几何的东西,才能充分理解scheme.

理解presheaf的sheafication

Kane说过一句话,从范畴里写出来的东西一般都是Universal property的, sheafication

确实是这样. 对sheaf+的构造有点疑惑.

突然想起个别的东西 就是partial tilting and tilting 过程有点相似.

一个习题,思考下 specA 连通 if and only if A 是连通代数.

进入概型后 慢慢的咀嚼每一个定理 做每一道习题 天天都有惊喜 生活的那种"细水长流"的美妙被充分体会

有些习题和定理是代数的语言说几何的事情,尤其是对SpecA作为Topological space的性质的描述,解释了我之前学交换代数和非交换代数对于背后的几何meaning的猜测,真是非常快乐的经历,即使是对于代数本身来说,要更加深刻的理解,学习几何也是一个非常重要的方面,然而几何却是更加好的.

这几天虽然还得背单词 GRE单词实在是很多啊....但是每天都能长时间的学代数几何,有种期盼的感觉,类似原来小学阶段星期5晚上放我最爱看的动画片的那种期盼.

今天已经5月5日了 还有4天就开学了(我的时间是这样算的,(5月7日-5月5日)*2=4天),争取在开学前看到sheaves of modules并且前面2节习题都做完,到5月12日写第一章的总结.

5月8日上午有代数表示论的讨论班,要讲第4节,基本上已经看完了. 之前学代数对现在学代数几何还是有很多帮助的,一是对同调代数的技术比较熟悉,一些构造such as direct limits inverse limits, pull back and long exact sequence能比较熟练的使用 二是一直就在追寻"代数背后的几何",现在兴趣与日俱增.

我想下一篇blog写点我自己的一些事情 关于数学 关于物理 关于我

列一个计划

5月到6月6日 结束Scheme (应该不算快,快的话及时调整) 5月12日写代数几何第一章detail check版

6月9日晚到8月看cohomology 这个时候代数拓扑也达到cohomology同时对照看.微分几何已经结束了Gauss 映照几何学,7月结束经典微分几何. 开始看微分流形(学过一点,不系统)

5月5日写表示论的一些讲义, 倾斜理论结束后,6月浙大讨论班前学点代数K理论初步,了解一些概念.

Ma和Zariski交换代数在AG过程中学

Ha的书第一章第7节 Intersection in Projective space 觉得非常有意思,呵呵:) 暂时不看,等看完Scheme的一些再来看,因为好吃的要留在后面......虽然现在很诱惑我