顺流而下 数学和我的生活 Shizhuozhang@gmail.com

这个标题有点奇怪，总是说要写自己却总是没写。今天趁着找东西的时间写写自己吧。

为什么会喜欢数学？ 什么时候开始喜欢数学？ 要从小学开始说。其实最开始对各个学科没有明显的偏好，数学小学也看不出来什么，只是学得一直很好，三年级考了双百分，到现在记忆都很深刻。最开始是小学3年级下学期，那时候刚学方程，我对移项这个事情很奇怪，想不通为什么左边的项到右边就是加个负号。。。为了这个事，我爸跟我妈都无奈了，他们认为两边同时减去一个数这个事情很容易理解，可以忽略不说。最后把我搞哭了。呵呵。可是之后学数学有很长一段时间没遇到障碍了。小学四年级开始学初中的教材，那时爸爸在湛江工作，有一次我和妈妈去湛江看他，坐的是那种很慢的火车，在车上就拿初三的教材看，很是喜欢。觉得因式分解什么的很有意思。那时候其实对数学的美什么的并没有深的感受，就这样到了初中，初中不仅仅是数学超前学，物理和化学也超前学，用的是一套叫数理化自学丛书，我想70年代的大学生家里应该都有这么一套书，很经典的。无奈我那时对物理是没有什么感觉。对化学那更是敷衍了事。记得初中数学不管什么考试都是100。记得初三的时候就把高中的东西学完了，开始看微积分，用的是樊映川的数学分析讲义，那时候看极限的概念很辛苦也很认真，总是想着某个序列就一直趋近于某个数，等取到无穷的时候就相等了。总是拿1/x来想各种极限问题。随后是高中，微积分基本上学完，一元的已然特别熟悉了，因此学物理的时候，就总是用微积分的工具来得到物理里的一些用高中方法求不出来的精确解。不得不说的是初三暑假，做了一套高考试卷，高考试卷中有那种抽象函数题目。就是所谓f(x+y)=f(x)f(y)的，要你求函数的基本性质。那时候觉得它很象指数函数，就硬是用PDE算出来在加上某些好的条件后就是指数函数，觉得巨有成就无比，然后类似地造出其他的抽象函数，用PDE暴算，然后画出图形。满满地抄一个笔记本，当宝物似的，直到现在还收在家里。到了高中，开始对数学产生浓厚的兴趣，总是寻求一些题目的简单的解法，比如函数关于某一点对称，那这个函数有什么抽象的性质，和周期函数有什么关系，每次都很欢喜地抄在笔记本上，这样做了4，5个笔记本，随身带着，当宝物呵呵！~

我的高中很好，我上高一那年就实行所谓研究性课题的计划，每几个同学组成一个小组，研究一个问题，然后定期开会讨论进展，最后提交报告，进行答辩。就和现在做毕业论文的情况一样。我是组长，我选了一个题目是如何有效的学习数学，用到了各种统计方法，极大似然估计和因素水平表就是那个时候学的，概率论也是那时候学的。刚才提到做物理题用微积分的方法，可以这么说我高中的物理都是建立在微积分的基础上，什么东西都自己用数学重新定义一遍，就这样，向量分析等一些涉及到方向的数学都学了，物理里一些比较难弄清楚的概念也用数学搞的很清楚了，直到现在还觉得学完高等数学再学物理能使思维开阔，对数学和物理理解的更好。高中还很有兴趣的学了学逻辑代数和现代控制论。学控制论的目的很单纯，是为了解决用Lagrange乘数法则无法解决的不等式约束的问题。到现在还记得Kuhn-Tucker法则，以至后来大2跟数学建模的老师聊天，他非常吃惊地问我为什么会知道这个东西。高中物理和化学由于数学的advanced 学了很多，梁昆淼的力学上册 普通物理2本 赵凯华的电磁学都学了，很快乐。那时候对这些东西的热爱一发不可收，导致父母都担心我严重偏科。于是我只能找借口来学数学，一次我假装问我爸：“要了解流体的性质要看什么书”我爸是个纯粹的做理论的人，思想很单纯，听我这么一说：“噢你到我书架上找本数学物理看吧”于是“阴谋”得逞，此后我名正言顺的看数学物理。

高中圆锥曲线的东西用解析法很难算，而有些题目证明两个角度相等的问题用那种跟光学有关的东西一下就解决了，我受到震撼，想如果所有的题目都能这样做就好了。于是开始看光学，而且只看和透镜有关的东西，效果是题目还是不知道怎么用光学做，但是光程差这些东西都会了。。。于是到书店去找，找啊找，果然让我找到梅向明的一本射影几何，里面满是这些东西，从此我知道怎么用仿射变换来做椭圆的题目，先把椭圆变成圆，在圆里好多性质就很简单了，然后做出来后再变到椭圆里去，哈哈。巨爽无比。然后高2学校教复数基础，老师每次都用复数的几何性质去做，特别厉害，于是我重施故技说：“我们要考复数的东西，我不会”（其实这些是选讲，高考根本不考）我爸果真上当：“噢，我书架上有好多共形映射，复变函数的书，你随便拿着看吧”然后自言自语：“如今高考是越来越难了啊，连这个都考。。”哈哈。学这些东西的时候，不变量的思想逐渐产生，就越来越能体会数学之美。不幸的是，我高中对线性代数的理解完全限于解多元方程这是因为我拿着看的一本高等代数的书上册整本书就是线性方程很繁，于是我与美妙的代数擦肩而过。至于微分几何，我家仅有的一本书却是那种暴算的。。。于是也错过了。。。然后这就是我的高中

刚来华东师大两天，第一天就听了肖荫堂教授讲的mutiplier ideal sheaf。ideal sheaf我知道一点 和sheaves of modules定义相似，和一个环A里的理想I也相似。 defined as R(X,A) product R(X,I) to R(X,I)。可是 出乎意料的是Siu一上来就开始讲PDE。讲了PDE的发展历史 尤其提到了Prior estimate（在解PDE中很重要），然后讨论如果没有这个estimate的情形。 好在我PDE没有全忘，尽管很多细节我都不知道，但是处理方法我至少听过，比如一个trick用sub mean valued theorem来处理退化的情形，但是这样并不能保证分母的P不等于0。然后用一个Series取leading coeffecient这样就肯定不为0了。听到这里就觉得：“真好啊”。但是后来Lew（是这样拼么？）举了一个counterexample。发现并不是所有的都能这样做的，因为其中一个原因是cohomology not vanishing.（我后来搜文章，看到一个cohomology vanishing theorem.难道是找到一类PDE不满足这个条件然后可以解，我这完全是望文生义，就看了标题）。所以就必须用别的方法了。因为目前我只down了那篇讲义，具体的东西还没check。故以后再说。这两天虽然我听懂的比较少（第一天PDE还算勉强），但是也还能听个思路出来，而且不知道为什么很有热情去听。我感觉Siu 季理真老师，林老师都有一个共同的特点，就是对问题的背景十分清楚，对为什么要研究一个问题，这个问题解决了一个什么事情，怎么做。这种看似哲学上的东西很清楚。我觉得这样才是真正做学问的态度，林老师一次和季理真老师聊天，林老师说：“几篇论文并不重要，重要的是，把一个东西认识清楚了！”当时我就想鼓掌，数学的目的，我觉得还是要以认识世界为主要的。另人感动。季理真老师对Luzstig做的东西不太熟，在别人做一个关于Luzstig Union的报告时，他问了一个“外行”的问题，“这个东西引进来干吗？”我到是觉得这样的问题问得很好，很多人做这个东西，但是并不知道为什么要做，整个理论体系不清楚，前因后果不清楚，我觉得还是都弄清楚比较快乐。

在浙大的讨论班，季老师经常问一些这样的问题，我感觉听那些人的回答，收获很大，有时候反倒是这些东西让我觉得很prominent。而不是处理的技术。而在上海，SIU也是，对一个问题为什么要做，做这个东西的思想，也就是幕后的东西讲的很多，我觉得这些很有意思，也很重要，因为丑陋的推导 漂亮的结果，思考过程往往是很艰难的，表面的漂亮结果会掩盖思考的过程。而那些却是做数学最重要的。我很期待SIU讲用PDE的方法做finite generation那个大猜想。心情激动啊呵呵。这几天一要继续HA 二要checkSIU的文章。

另外，我感觉尽管我听不懂，但是几何的东西言之有物，我想去学，想去听。一直觉得从几何里出来的代数让我很激动，想如果把这些代数的结构搞清楚了。兴许是某些拓扑空间的不变量。这样分类就很厉害了。 而一些纯表示的方法，开始学还可以，到了后来，由于对几何背景不清楚，即使懂也不想去听那些报告。感觉很疲倦，我做出来各种对应却不知道要干什么事情，好象就在绣花。而不是做衣服给人穿。而SIU讲的这些，感觉就是在推动人类的认识，解决问题，发展新的理论，为了人类心智的荣耀。呵呵

这几天和郝教授一起住,讨论了很多问题,他给了我很多做数学的建议,很感谢他.

首先是第一天住进来,自我介绍后我马上问他做了什么工作,他说是环的一些性质和Hopf代数,主要是矩阵环的刻画.然后他说了一个很有意思的东西.

考虑两个线性recursion序列, 然后乘积起来 问这个新的序列的recursion关系是什么 我问对于Fib序列有什么结果么,他说有专门这方面的书.问题在于怎么刻画这类序列,或者说这些序列组成的集合上有无代数结构,幸运的是乘积是封闭的,所有是个环.然后就可以用刻画环的工具来做了,比如cohomology.

前天我问,一般在代数几何的问题,引进Scheme or stack以后马上就变成交换代数的问题,有没有反过来做的,郝老师说如果把环的问题变成素谱的问题可能会变复杂,因为素理想不太清楚.但是我却又见过这么做的.比如Huzhengyu的一篇文章.

前天郝老师表达了一个观点,就是代数中只有多项式和矩阵环两个基本对象,其他的对象都是这两个对象经过twist and product生成的. 我说EndR是twist 但是他把这个仍然看成matrix ring.

续)

我发现我还是更喜欢代数几何.嘿嘿 看到cohomology的中间部分了. Cech上同调 检查了细节

不过还是总结一下一些我感兴趣的表示论的主题

Topic Gentle algebra Given by Surface Triangulations.

Why I was interested in this topic for following reasons.

1.       I ever read the representation theory of Gentle algebra. When I first met this classes algebra, I have strong interested in its definition. Say if an algebra A is morita equivalent to some path algebra with quiver Q and admissible ideal, and satisfy 3 conditions.

So in the topic. The triangulation of an oriented surface can give the gentle algebra, I was surprised. The speaker Thomas Brustle say the {set of strings} has bijection with {indecomposable modules over gentle algebra} , I think this is a very beautiful relation. Because it is known that {set of positive roots} correspondent 1 – 1 {indecomposable modules} in hereditary algebra and Lie algebra. I think it is very similar. So I am interested in them.

After the lecture, I have contacted with the speaker,I think we will have a communication from now on.

2.       This kind of gentle algebra is cluster tilted algebra, but cluster tilted algebra is very important in Tilting theory.

Topic Representation theory for vertex operator algebra.

Why I was interested in this topic?

1.       In fact. I am not familiar with the vertex operator algebra at all. But the method used attracts me. The highest weight theory with application to this kind of algebra. Especially the M[0] can determine  the M[i] for all I because I do not have lectures at hand. So I only describe the impressive part.

Topic Minimal Length Elements and G Stable pieces.

You ask  me why I was interested in this topic. Though I did not know anything about this.

I think building the connection between the finite weyl groups and the geometry of algebraic groups is anyhow very important. And I think the Deligne-Luzstig varieties associated to minimal length elements are affine ,this result is non-trivial.

I think the idea in the abstract is enough to have my attention. Saying translating some ideas and constructions from Luzstig’s geometric setting to the combinatorial settings of finite weyl groups.

I ever read the GTM129 flavored in Combinational. The structure of combinational is more and more important now. You can consider the representation theory of Lie Groups. It induces the study in Hecke algebra. Then using a combinational settings is suitable. I think Xuhe Hua did a prominent work.

Topic Cluster Algebras of Rank 3

Obviously I am interested in this topic because it has close connection with the representation type. It shows that if cluster tilted algebra is not hereditary, then H is representation finite. And the Loewy length actually characterize some finiteness.

Topic Classification of finite dimensional basic Hopf Algebra as according to their representation type.

Obviously I will interested in this topic because I am focusing on the problem of Rep Type for a long time.

Covering theory, Bocs Differential and Subcategories are the efficient methods. Hopf algebras are the special case. I think the key is the condition “Basic”.

Topic Classification of Quantum Groups

There are many ways to classify the Quantum Groups, using the Dykin quiver and Extend Dykin quiver. So I am interested in this topic. But I am confused that there shall be some very different quantum groups with the same classical limit.

Topic Generic sheaves over elliptic curves.

It gives a beautiful result saying for every rational number q, there is a generic sheaves with slope q over E. In the lecture notes, a lot of technique in Tilting theory are used. The generic sheaves are the generalization of generic modules. And the Tilting sheaf are generalization of Tilting module as well. I saw a lot of similarity appeared,such as the definition of the Euler Form, only replace the module with sheaf. There is a good result for the Euler form as well. I will read some of papers.

Topic Conical Extension of Derived Categories.

Before the lecture, I was interested in it.

1.       What is the Toroidal Lie algebra ?

2.       Why can one realize the Kac-Moody Lie algebra and Lie algebra using only one derived categories, but using two realize the Toroidal Lie algebra. What is the hard point?

After the Lecture, I know the hard point that the quiver of Toroidal Lie algebra is complicated any how. So one try to “partition”it to some parts. Then using derived categories of corresponding Dykin quiver,then define the Ringel Hall algebra to realize respectively, final, using the conical extension to realize the whole Toridal Lie algebra. I think the important things are this result mentioned in the lecture: if given derived categories have Auslander Reiten translations then the conical extension derived categories has Auslander Reiten translations as well.

I was extremely interested in the picture that Pengliangang showed, it told me how to realize the Lie algebra with Affine Dykin quiver. Hmmm,It is interesting.

Duality of Arithmetic Groups Mapping class Groups and Outer automorphism of free groups.

I will check the detail of the lecture.

Because Professor Ji Lizhen lead us to a comprehensive realm of mathematics. A lot of beautiful results are given. Hehe

今天坐飞机到了拉萨,然后坐了出租到了Himalaya宾馆,在见过林教授和芮教授后便径自到了自己的房间.有点高原反应 既然是International Conference on Representation theory. 我带了一些Luzstig的文章.主要是关于Canonical Basis的,在杭州和林教授聊数学的时候,他说Intersection Cohomology是一个非常重要的工具.我对这个并不了解,但是有很强的兴趣,因为K也说有些人考虑在同调群上用Intersection建立环结构.

一个屋子 一个外国人, 巴黎11大学的 导师是Fields Medalist

一个要去Washington的

一个已经在UCLA做数论的

在牛圈中........

终于知道什么叫stack了,原来只是知道Scheme的推广就是stack. 问了法国大牛,知道有个orbifold locally looks like the R^k/G for some group G. 对应的就是stack. as the scheme corresponding to the manifold.

orbifold的定义很形象,有个奇点.相当于是glue起来得到一个点.

法国大牛是做motivic cohomology的. 大牛推荐了几本书 一本Mumford的 一本

Andrew Kresch(???)写的.大牛对Ha的书比较熟.给我解释了好多疑问和习题.大牛肯定把Ha的习题都做了.....

敬过大牛以后回自己的宿舍.看见傅利叶大牛正在和别人讨论同伦和同调的问题.貌似是homotopy control the homology的问题.

他们讨论的热火朝天.我和K聊天,以下是让我很受启发的一些东西

if all pi0 -> pin = 0
then pi(n+1) = h(n+1)
n-th homology tell you how n-cells are glued to (n-1)-cells
n-th homotopy depends on the whole n-skeleton
when a space has easy homology, it has crazy homotopy
when a space has easy homotopy, it has crazy homology

sphere has easy homology, it has difficult homotopy

classifying space has easy homotopy and difficult homology

cohomology = dual of homology, which is abelianization of homotopy

if there is a nonabelian cohomology theory, it will be dual to homotopy in some sense.

giving a space X, get H^n(X;R) and pi_n[X]

then we have dim(h0)-dim(h1)+dim(h2)-... = chi = |pi0|/|pi1|*|pi2|/...

no proved even no verification

homology is +
homotopy is x
乘法难点。
mirror symmetry / langlands is just like this duality
Hom(S^1, X) and Hom(X, S^1)
this is beyond human reach
group is the symmetry of something. pi_1 is the symmetry of what thing?
all group is the symmetry of some the stuff
automorphism = symmetry = group

最近数学的学习进度放慢了 主要是因为考试太多 那些课程平时都不学 都看数学了 考试前突击了5天 累死了. 可是一想到考完就可以看AG,就呵呵

最近AG进度比较慢 可能到7月16可以开始看上同调.7月20日会写一个关于代数几何前2章的讲义并且准备在开学的讨论班上讲. 最近在K的提醒下注意到一个事实就是[Ha] 2.8中Differential和Frobenius Automorphism很象,不知道有没有人专门研究过这种东西,搜了很久也是一些不相关的东西. 杭州听了几天K理论 觉得收获不小.首先是唐国平老师讲一些基本的K理论,讲到一个用配边理论和Whitehead Torsion以及K理论证明了5维Poincare猜想,这个我当时就激动了,代数拓扑的东西本来只能是粗略的处理拓扑空间的,众所周知的同调群和同伦群.一般都比同胚要弱,两个空间的同调群相等或者同伦群同构 而拓扑空间不同胚的例子很多. (当然同伦可以控制同调),什么是Poincare猜想呢,简单说来就是

连通的紧的n维流形如果同伦于n维球面 则必有他们两个同胚,而我们通常见到的3维Poincare猜想就是这个的特殊情况. Smale 在别人工作的基础上证明了当n大于等于5的情形下,这个结论是成立的. 具体的过程只能回去写了,马上就要离京了

6月9日上午11:10分 最后一个Q结束,GRE终于考完了,在单词中坚定和迷茫了3个月,同时还要看代数几何和表示论,身心极其疲倦,这种情况于昨日结束. 开始全面AG and AT and KT

PS: 话是这么说 马上面临3门考试.但都是小事了,加油~

PS2: 昨天网上遇到Pengliangang的学生,快哉

发呆的时候往往会突然有一些顿悟,这几天很颓废,每天除了单词就是睡觉,没读数学. 但是零碎的想到一些东西,于是乎懂的东西又增加一点点.

首先说到清华和朱教授聊的一些东西,他是做Tilting 理论and Cluster范畴的, Tilting理论我在讨论班上讲过一点,简单而言就是一种研究两个有某种关系的代数的一种技术.教授提到肖教授的一个很有趣味的例子来说明什么是Tilting.

设想一个篮球漂在水上(我不知道会不会沉....),篮球在水里的部分是模范畴,整个球面是导出范畴,Tilting的过程就是去拨弄一下球, 可想,球会在水里"滚动",一部分本来在水下的部分跑到上面来了,但是球还是一个球,我们说,Tilting后,导出范畴是没有变的,只是模范畴变了. 这个例子我觉得很生动,当场就激动了. 在南京听Clause Michael Ringel讲Tilting理论,他也是把导出范畴放在3-Level. 因此两个代数模范畴如果是 A Tilting to B 则 导出范畴等价.可以这样说,倾斜也是一种等价性,即Derived equivalence. 这时候,我马上提到Stable 等价,注意前面我们拨球是随便怎么拨(体现在模上,就是T做为A Tilting模是任意的),而这个等价的"拨球"的方式就规则一些.

第2,说说Morita等价,关于具体的定义,可以参考这个连接: http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1180109774

书可以参考Morita Equivalence and Its Generalizations  教授说两个代数的模范畴Morita等价implies 他们的表示范畴等同,虽然Morita 等价后,可能代数A变成了A的sum of copy,但是表示范畴是没有变的,这个东西从"感觉"上来说也是对的, sum of copy的morphisms induced by the morphism in the original category.所以module categories' Morita equivalence is equivalence in Representation categories.但是我仍然存在一些问题,想找一些这方面的讲义来读,特别是和代数几何中的东西读读.

读Xiao and Zhu的一篇文章,Relations for Grothendieck groups of Triangulated categories. 结论很漂亮, 局部有限的三角范畴(文章中叫有限型)的Grothendieck群的relation由Auslander-Reiten triangle生成. 这个结论的想法来源于Artin代数的一个类似的结论.就是artin代数是finite type if and only if Grothendieck群的relation由Auslander Reiten 序列生成. 尤其是only if的部分使我很有兴趣, 也就是说如果一个代数不是有限型的,那么用它的AR 序列就不能完全生成relation, Zhu说,有人研究了这个现象,并且得到如果一个代数是无限型的,那么relation除了AR s还有一些别的正合序列.

最后说一个初级问题,就是Hom函子为什么不正合,可见http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1174903962

从代数角度这样来理解,一个正合序列假设是0---->M----->N------>L------>0 用Hom(P,-)来作用,其中P不一定是投射的,则有 0---->Hom(P,M)---->Hom(P,N)----->Hom(P,L)--->Ext^1(P,M)--->

这是Hom(P.-)诱导的长正合列,如果P是投射的,那显然Ext^1(P,M)=0,所以是正合的,这里实际上只要Ext^(P,M)=0就可以了,换个角度要求0--->M---->U----->P---->0 分裂,就可以了. 也就是说在一般情况下,从P到U 不一定有section.

有个事情让我很兴奋,今天询问了一个做代数几何的学生 Daniel, 得到的答复是Derived Categories竟然可以用来给代数簇birational equivalence分类,这个结论让我觉得很强,因为之前我根据Derived Categories在模范畴中的作用,感觉"提升"不到这个程度,因此现在我准备读读相关的文章,而且使得我对代数几何的兴趣简直是猛增. 下面是Daniel提供的一些文章:

A. Bondal and D. Orlov, "Derived categories of coherent 
sheaves"

L. Hille and M. van den Bergh "Fourier-mukai transforms", 2004. Also 
on the arXiv, I think, or google for it.
Rouquier, "Categories derivees et geometrie birationelle", 2005 (in 
French).
T. Bridgeland, "Derived categories of coherent sheaves" 2006 (look on 
the arXiv).
Ha的书认真看

今天在图书馆在英语的折磨中实在不行了,回宿舍的路上就一直念着"birational equivalence",突然发现这个东西也没那么强,因为从范畴等价的角度考虑 一个簇范畴(with rational map as morphism between objects), 等价于一个簇的函数环的分式域的范畴,而这个实际上是一种局部化,而derived category也是范畴的一种局部化(比较特殊,先是造一个homotopy category 然后模掉一个比较奇怪的范畴),比较弱.所以对于能分类也就没先前那么惊奇了.

我决定把Ha的书好好读,同时自己来思考这个问题,不看那篇文章,思考如何来做,写点东西

从清华的校门走进去,感慨于这所学校的美丽,两年前我也来过这个地方,那时候是怯怯的,虽然今天太阳很大,还是想在这个校园里漫步一下子,我每次到一个地方都是匆匆,没有时间停下脚步来感受,今天也摆脱不了,走着,侧面竟然有一个很美的草坪,有树,就象某个城堡的花园一般,草很绿,很整齐,一些人在树后照相. 都是孩子们,或许是高中生,憧憬着能踏进这所学校,几天前一个同学对我说,真想雄赳赳地踏进清华. 两年前我也是这样憧憬,所以对这所学校的学生是那么敬畏,以致于我生怕别人提起我的学校,因为是那么不起眼.

如今,这种感觉竟没有了,走在清华的树阴下,能以很平静的心看周围的小孩和学生, 当年的怯全然不见. 其实我也不知道数学系在哪,在一个数学系学生的陪伴下,我到了理科楼,左边是物理,右边是数学,走进去,上楼,回望,Henri Poincare, David Hilbert的名字赫然. 心里不免生出一点激动.来到了一个教授的Office, 教授很亲切,开始聊一些数学,教授的地方不大,但却是个可以安心做学术的小屋,挂着小黑板,想着那一个个漂亮的数学定理就是在这样的地方诞生,憧憬着未来我也能在这样一个小屋里,发现漂亮的结论,此生足以.