顺流而下 - iBlog, Do You?

想到一些

个人空间 — 作者: Shizhuo Zhang @ 04/06 2007, 16:10

昨天和一些人讨论数学分析里重要的或者是喜欢的定理.我说是Newton-Lebniz formular.因为这个公式把微分和积分联系起来了.还有Stokes定理,比如Green formular就把平面上一个区域的定向曲线的积分转变成围成的区域上的2重积分. 而当(P.Q)是一个exact pair,并且定向曲线就是区域的边界时,积分的结果是0. 而从一个更高的观点,实际上所有的使得(P,Q)积分为0的封闭曲线可以看成是一类, 事实上叫做homology class. 而进一步可以想(P,Q)为0 取决于什么,取决于这个封闭曲线是不是区域的边界.如果区域无洞,则肯定是了, 而如果区域有洞,则不一定了.因此是空间的拓扑性质来决定的.因此我们可以用一个拓扑空间的类来描述这个现象, 同时在代数拓扑里,这样的现象被更清楚的刻画了,我们用Zn(X) ,Bn(X)来表示一个空间X的 cycle 群和boundary群, 那一个空间X没有洞,我们可以得到cycle一定是边界. 那Hn(X)=Zn(X)/Bn(X)就是0, 实际上就是说空间X的nth同调群是0. 因此同调群就被用来刻画一个拓扑空间有没有洞了. 说到空间的拓扑性质,有同学说喜欢Taylor公式.

其实那天上午有个大一的学数学的学弟说Lagrange mean value Theorem比Taylor要重要,他觉得Taylor只是一个总结,诚然Taylor是一个总结,但不是"只是", 先说说mean value Theorem. 从几何上讲,这确实是个美丽的定理, 如果把连续函数看成一条参数曲线的话. (***)

但是Taylor定理的有更重要的意义,正如诸葛兄所说,它刻画了"足够好"的函数空间的拓扑性质, 即可分,定义是说一个拓扑空间X存在可数的稠密子集,而一个足够好的比如C infinite函数空间,那么这个空间就是可分的.关键在于任何一个这样的函数都能被Taylor逼近.当然这个C infinite有点强,事实上要求连续就足够了,这时候我们用外尔司特拉司定理.

(***) 让我突然想起Rolle定理,而Rolle定理一个不平凡的推广就是Jacobian猜想,从一个不算太长的过去,我开始关注这个猜想,有空的时候读一读这个猜想的一些文献.

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说一个牛事

个人空间 — 作者: Shizhuo Zhang @ 04/04 2007, 18:18

我昨天发现一个事情,就是用聊天软件Skype可以搜到很多牛人. 在Add Contact一栏,我试着输入Algebraic Geometry, Algebraic Topology, Grothendieck, Atiyah,嘿嘿,出来很多人,我猜测他们都是搞数学的...... 我随便找了一个叫Arithmetic Geometry的人一聊,竟然发现果真是做算术几何的,在France.然后因为我对代数几何只是初步涉及,有些问题不明白,就问他,他非常nice的告诉我在什么地方可以找到书,解决问题. 呵呵

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近期计划

个人空间 — 作者: Shizhuo Zhang @ 03/30 2007, 10:06

经过反复调整近期的计划

周一到周四

代数几何

周五到周日

代数拓扑和微分几何剩下的部分

讨论班继续

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无限

个人空间 — 作者: Shizhuo Zhang @ 03/27 2007, 12:31

其实我们对于无限和有限的认识还非常少我觉得

哪些是有限的,怎么刻画有限无限是否具有某些有限性都是值得思考的

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终于可以安心学点东西了

个人空间 — 作者: Shizhuo Zhang @ 03/26 2007, 11:38

前段时间有点瞎忙,身心俱疲,现在干脆什么都不想了,全心全意为数学服务呵呵

昨天听拓扑学(复习),讲到一个小性质,就是拓扑空间中一个集族如果是local finite的那么并的closure 等于 closure的并. 我马上就想有没有更加弱的性质,因为在代数里有所谓local bound代数(实际上是一个quiver的路代数模去一些relation生成的理想,quiver是局部有限的)而这个代数并不一定是有限的,只是每个eA作为K-线性空间是f.d的,而在代数里有比这个更加弱的代数,但是还是加入了一些finiteness condition,所以我想在拓扑里有没有类似的,我去问教授,教授说:"有啊比如Hereditary的"哈哈,遗传,还有所谓closure preserve的. 很有意思

昨天讲到dense集的定义,就是说如果X的一个subset A 的closure是X 则A 在X中dense

我突然想到代数几何里一个性质,如果f and g是一个开集上的regular function 且f=g 限制在这个开集上,因此马上有使得f-g=0的点集是一个dense closed集合,因此f-g就在X上相等.

最后我突然意识到代数里的connected 代数的定义是怎么来的,事实上就是Top中连通空间定义的"代数化" 呵呵比较有意思.

昨天看了看Gunning 的Riemman曲面至少前面感觉不错,一上来就讲了拓扑流形.不错

现在虽然前途未卜,可是还是一心下来做学问.GRE 马上就要考了

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开始说一点以后的打算

个人空间 — 作者: Shizhuo Zhang @ 03/18 2007, 10:43

最近, 到了一些地方听了一些讲座,见了一些人,谈了一些以后的打算. 下面就说说.

其实我比较烦躁跟数学无关的事情,我每次在学数学的时候就很沉下心,就不管别的事了,最近看丘先生的"数学人生",他提到他教的学生很多都是农村出身"对钱没什么杂念"比较适合做研究,我想到我自己,我笑了笑我觉得更符合做研究的心态了,我不是对钱没杂念,我是对钱没概念,怎么样都能过,夏天穿个冬天的衣服,冬天穿个夏天的衣服,不变的是每天跑图书馆,.

最近和即将要去香港中文大学的Teng 聊了聊,有一些启发和收获,也觉得应该对自己的前途有个规划了.他问我对代数几何有没有兴趣.怎么说呢,事实上我对代数几何的兴趣和表示论差不多,所以以前我们学校的做表示论的教授问我想做什么的时候,我总是说:"表示论和代数几何"虽然我说的有点没底气.原来学过Atiyah的交换代数,那时候就觉得代数几何肯定是很有意思的,透过代数看几何是我一直追求的,交换代数的习题中绝大部分都有很深刻的几何背景,遗憾的是我并没有都做,只做了一部分.

在表示论中知道有个概念叫quiver variety我对这个相当有兴趣,师兄做的论文也是把预投射代数和代数几何结合起来的文章.我对"sheaf,scheme"这样的东西极有兴趣,但是我却显得底气不足,我不知道自己能不能去做它因为据说代数几何要求极多的背景,所有的代数,所有的分析,所有的几何所有的拓扑. 所以一直以来只是想着我多学一点,看到毕业的时候能不能达到要去做代数几何的高度,凭缘分把.呵呵. 可是那天Teng给我看了一个website上面说,没有人了解所有的知识,所以你不必了解.后来我咨询了pku去Columbia的GG,貌似他本科对复动力系统就很熟了,可是研究生还是选择了代数几何,因为这个东西联系的东西更加多,而且可以用代数几何去做数论.

说到这,我对Langlands programm很有兴趣,因为它的一些主要思想和我高中的某些想法不谋而合,我高中喜欢玩复变,就是因为它和几何有点关系,好多代数题用复变做桥梁可以转成几何问题,然后就很easy了,然后再transformation回去就可以完成了.

所以我大学的学习计划里,有一个学期是留给代数数论的.这个东西好象可以引导我进入Langlands 纲领.还有一个老教授对我说:"明知道可以做出东西的领域那就没什么意思了"呵呵.经过一些思考我决定先学学代数几何试一下,如果能够做,那我就做代数几何去了....

还有一年,拼了,好好学习数学好好考GRE 和T.下面列个大致的计划.

代数几何一直学到毕业(本科). 这个学期的任务是学代数几何,同时7月前结束微分几何和代数拓扑(这些上个学期一直在学,尤其是代数拓扑很有意思),6月前结束Lie代数(这个属于表示论,和其他很多数学有联系,很重要

6月到7月浙大的讨论班群的上同调和代数K理论,学点K理论,之前学点代数上同调基础.

7月到8月拉萨国际代数表示论会议 ,再去拜访下Ringel教授,认真听报告.

代数几何继续....暑假无限维Lie代数,主要是要跟开学的Kac代数接上,这个在数学物理和理论物理中都有很大的作用. 不看1099了而是把时间给代数几何和结束I.Assem的表示论

12月去浙大有事(不告诉你们),这个时候应该开始申请了.

寒假整体微分几何,代数几何,开始学点代数群表示.

开学 Lie群表示.学点点Hecke代数,全面复习quiver表示论和同调代数.

以上代数几何和表示论一直在学.这是可以预见的将来.暂时就这么多.

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说一点有关表示论的事情

个人空间 — 作者: Shizhuo Zhang @ 03/18 2007, 09:32

最近遇到的事情有点不顺,悲哀的是大多与数学无关,首先说个与数学有关的,事实上是继续上个学期的Triangulated Category的讨论班,我对这个东西有点兴趣,不知道为什么.可是仅仅是有兴趣是不够的,我还得理解它在说什么,很不幸,一段时间我都不知道它在说什么,只是可以经过一些不算大的努力check过去,也能完成一些讲义上缺的证明,但是谈不上理解,至多也就是感觉有些东西和同调代数似乎有点象,比如有个等式套一下一个模的内射分解诱导的n次同调群就出来了,有一点点小快乐.我起初并不理解为什么它要造出一个所谓Triangulated Category 因为这个概念的定义很复杂,不仅如此,书上第2章讲Frobenius范畴,我觉得这是个比较好的范畴,投射性和内射性是coincide的,然后作者又开始了,把某个Frobenius范畴模掉一个通过内射(投射)模分解的态射子范畴,得出一个所谓stable范畴.然后说这个stable范畴是三角范畴,我想,那这三角范畴应该是很重要的.这些都是上个学期的事情了,这个学期首先我讲第2章Repetitive代数,重复性中文我想应该这么译,这个代数和以前遇到的一个代数A的"平凡扩张"类似,只不过,这里是infinite直和. 那实际上就可以等同于一个无限矩阵代数,到这里我开始意识到这个Repetitive代数是"无限型"的,兴趣骤然上升,我想看Happel要做什么,之后经过一些check,说明了重复性代数的模范畴是个Frobenius范畴,呵,那stable范畴必定是个三角范畴.到这里我仍然是对三角范畴的重要性意识的不够.后来我找到Happel的一篇on the derived category of finite-dimensional algebra,看了看前言:"Our main results describe D(A) if A has a finite global dimension, We show that D(A) is suitable for study tilting process.............. The Derived category D(A) is equivalent to D(B) as triangulated categories.....

看了这段话以后,豁然开朗,以前的疑问扫清了一半,觉得很美妙的感觉.当时就想"哈哈" 顾及图书馆的那么多人,就没,呵呵.其实讲这本书我是想讲Tilting理论的,但是如果我开始就要求讲generalised Tilting那我肯定错过导出范畴了.我稍微解释上面这段话的意思.

在这个之前我先介绍下我对倾斜理论的一些粗浅理解

首先这个要求A has finite global dimension,总体维数的定义实际上是projective dimension的上确界,作用大抵是对代数的"有限性"的限制,应该说是比较好的,从一个定理可以看出, A has finite glb means Cartan matrix is invertable.而Cartan matrix在quiver 表示理论中包含了一个代数的不可分解表示的信息,当然了这个命题的逆不对.Tilting的过程首先是定义一个Tilting A-module 暂且记为T,然后得到一个自同态代数B=EndT, 然后研究modA and modB的关系,通过modB来研究代数A的性质.一些定理表明这两个代数是很有关系的,比如I.Assem的书中指出A and B 的中心代数是同构的.那可能有人要问了,这两个模范畴等价么? 这是个很好的问题,我们希望他们等价,可是他们却是不等价的.....

到这里,怎么办呢? 所以我说Brenner和Bulter真是太聪明了,modA and modB不是不等价么.那我这样,把这两个范畴都做适当的划分,看范畴的一个部分有没有可能和另一个范畴的部分等价.如果都等价,那是不是可以诱导出整个范畴间的等价?(其实这是不可能的拉,刚才已经说了). 那怎么划分呢,这里借用了一些自由Abel群中的思想,学过Torsion理论的人都很清楚,在abel群中 torsion subgroup 到torsion-free subgroup的态射是0,那这个性质也可以搬到范畴中来,我们在范畴上也可以定义类似torsion class and torsion free ones那这样,范畴中就出现了至少两个部分,为什么说至少,因为有些模子范畴既不是torsion的也不是torsion free的.现在准备工作做好了,要开始建立对应了,之前定义的倾斜模T 起作用了,Hom(T,-) and Ext^1(T,-)分别把torsion and torsion free映射到另一个范畴的torsion free and torsion并且都是等价.那这样很好啊,似乎等价可以建立了,不幸的是additional part没有了,也就是刚才提到的既不是torsion又不是torsion free的那些模,losing掉了.不过这样已经很好了,两个模范畴已经有类似于Morita等价性的weak 等价性了,那这样我们就可以通过tensor and Tor函子从modB 恢复modA,至于中间的那部分模也是可以恢复的,不过这个问题我今天不说,因为要用到所谓cluster-tilted代数.可能有些人会觉得这有点不完美,因为没有找出一个"等式"来联系两个范畴,恩.我开始接触到Tilting理论的时候也是觉得好象没有一个"关系" between modA and modB ,为了解决这个问题,我们回到刚才讨论的triangulated category.

mod A and modB的导出范畴作为三角范畴却是三角等价的,这个结论非常漂亮,导出范畴是什么呢,我现在正在学Gelfand 的同调代数这一节,还没看到,但是大抵上就是modA对应的complex category的某种局部化.这个局部化后的范畴和原来的范畴在一些性质上来说是一样的. 以后再说这个问题. 有了上面这个漂亮的结论,刚才的不美的烦躁应该可以平息了,因此这也就是Happel为什么说:Derived category is a suitable way in studying tilting process.

最后补充一点,研究两个范畴的关系还有一种方式是用所谓BGP reflection functor,这个跟tilting 过程有很密切的关系,以后再详细的说.

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